+1 oy
Türev kategorisinde tarafından
$f:\mathbb R^+\to\mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $$f(x)=(x^2+1)\cdot (\sqrt{x}+1)$$ olmak üzere $f^\prime(1)$ değerini bulunuz.

2 Cevaplar

+1 oy
tarafından
$f$ fonksiyonunun kuralını ifadeleri çarparak $$f(x)=(x^2+1)\cdot (\sqrt{x}+1)=x^{\frac52}+x^2+x^{\frac12}+1$$ olarak yazabiliriz.

Kuvvet fonksiyonlarının türevini ve türevin lineer özelliğini kullanırsak $$f^\prime(x)=\frac52x^{\frac32}+2x+\frac12x^{-\frac12}$$ olur ve $f^\prime(1)=\frac52\cdot 1^{\frac32}+2\cdot 1+\frac12\cdot 1^{-\frac12}=5$ eşitliğini buluruz.
+1 oy
tarafından
$x^2+1$ fonksiyonunun türevi $2x$ ve $\sqrt{x}+1$ fonksiyonunun türevi $\frac12x^{-\frac12}$ olduğundan $f$ fonksiyonunun türevi, türevin çarpım özelliği ile,  \begin{align*}f^\prime(x)\ &= \ (x^2+1)^\prime\cdot (\sqrt{x}+1)+(x^2+1)\cdot (\sqrt{x}+1)^\prime \\[15pt] &= \ 2x\cdot (\sqrt{x}+1)+(x^2+1)\cdot \frac12x^{-\frac12}\\[15pt] &= \ 2x^{\frac32}+2x+\frac12x^{\frac32}+ \frac12x^{-\frac12}\\[15pt] &= \ \frac52x^{\frac32}+2x+\frac12x^{-\frac12}\end{align*} olur ve $f^\prime(1)=\frac52\cdot 1^{\frac32}+2\cdot 1+\frac12\cdot 1^{-\frac12}=5$ eşitliğini buluruz.
...