$(\ln x)^{x}$ fonksiyonunun türevi

Question

$f:\mathbb R_{>1}\to \mathbb R_+$ olmak üzere kuralı $$f(x)=(\ln x)^{x}$$ olarak verilsin. Türevi olan $f^\prime$ fonksiyonunun kuralını bulunuz.

Answer 1

Logaritma ile fonksiyonu çarpım olarak yazma:
$x\in \mathbb R_{>1}$ olmak üzere $$\ln f(x)=\ln\left((\ln x)^{x}\right)=x\cdot \ln \ln x$$ eşitliği sağlanır.

Sağ taraftaki fonksiyonun türevi:
$x\in \mathbb R_{>1}$ olmak üzere $x\cdot \ln \ln x$ fonksiyonunun türevi, türevin çarpım kuralı ve zincir kuralı ile, $$1\cdot \ln \ln x+x\cdot \left(\ln^\prime x\cdot \ln^\prime(\ln x)\right)=\ln \ln x+\frac1{\ln x}$$ olur.

exp fonksiyonun ile birimleme:
$x\in \mathbb R_{>1}$ olmak üzere $$f(x)=e^{\ln f(x)}$$ eşitliği sağlanır.

Zincir kuralı ile sonuca varma:
Gerçel sayılar üzerinde $\exp$ ve pozitif $\mathbb R_{>1}$ üzerinde $\ln f$ türevlenebildiğinden $\mathbb R_{>1}$ üzerinde \begin{align*}f^\prime(x)\ &= \ (\exp \ln f)^\prime (x) \\[10pt]&= \ \exp^\prime(\ln f(x))\cdot (\ln f)^\prime(x) \\[10pt]&= \ \exp(\ln (\ln x)^{x})\cdot \left(\ln \ln x+\frac1{\ln x}\right)\\[10pt]&= \ (\ln x)^{x}\cdot\left(\ln \ln x+\frac1{\ln x}\right)
\end{align*} eşitliği sağlanır.

Answer 2

Logaritma ile fonksiyonu çarpım olarak yazma:
$x\in \mathbb R_{>1}$ olmak üzere $$\ln f(x)=\ln\left((\ln x)^{x}\right)=x\cdot \ln \ln x$$ eşitliği sağlanır.

Sağ taraftaki fonksiyonun türevi:
$x\in \mathbb R_{>1}$ olmak üzere $x\cdot \ln \ln x$ fonksiyonunun türevi, türevin çarpım kuralı ve zincir kuralı ile, \begin{align}\frac d{dx}\left(x\cdot \ln \ln x\right)\ &=\ 1\cdot \ln \ln x+x\cdot \left(\ln^\prime x\cdot \ln^\prime(\ln x)\right)\nonumber\\[15pt] &=\ \ln \ln x+\frac1{\ln x} \label{eq:turev1}\end{align} eşitliğini sağlar.

Logaritmik türevin varsa türev de vardır:
Gerçel sayılar üzerinde $\exp$ ve $\mathbb R_{>1}$ üzerinde $\ln f$ fonksiyonu türevlenebildiğinden $\mathbb R_{>1}$ üzerinde, bileşkeleri olan, $$f=\exp(\ln f)$$ fonksiyonu, zincir kuralı ile, türevlenebilir.

Logaritmik türev ile fonksiyon ve türevinin ilişkisi:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $\ln$ ve $\mathbb R_{>1}$ üzerinde $f$ fonksiyonu türevlenebildiğinden, zincir kuralı ile, $\mathbb R_{>1}$ üzerinde\begin{equation}\label{eq:turev2}(\ln f)^\prime(x) \ = \ \ln^\prime(f(x))\cdot f^\prime(x) \ = \ \frac1{f(x)}\cdot f^\prime(x) \ = \ \frac{f^\prime(x)}{f(x)}\ = \ \frac{f^\prime(x)}{(\ln x)^{x}}\end{equation}eşitliği sağlanır.

Bilgileri birleştirme ve sonuca varma:
Eşitlik \eqref{eq:turev1} ve \eqref{eq:turev2} ile $$\ln \ln x+\frac1{x\cdot \ln x}\ = \ (\ln f)^\prime(x) \ = \ \frac{f^\prime(x)}{(\ln x)^{x}}  $$$$\text{ yani } \ \ \  f^\prime(x) \ = \ (\ln x)^{x}\cdot\left(\ln \ln x+\frac1{ \ln x}\right)$$ eşitliği sağlanır.