f fonksiyonunu bileşke olarak yazma:
$f$ fonksiyonunu $$f(x)=e^x\circ \arctan x\circ (3+x^3)$$ olarak kolay türevlenebilir fonksiyonların bileşkesi olarak yazabiliriz.
Zincir kuralı ile türev alma:
$f_1(x)=e^x$, $f_2(x)=\arctan x$ ve $f_3(x)=3+x^3$ fonksiyonları gerçel sayılar üzerinde türevlenebildiğinden $f$ fonksiyonunun gerçel sayılar üzerinde, zincir kuralı gereği, türevlenebilir. Ayrıca $f_1^\prime(x)=e^x$, $f_2^\prime(x)=(1+x^2)^{-1}$ ve $f_3^\prime(x)=3x^2$ olduğundan, zincir kuralı ile, \begin{align*}f^\prime (x)\ &= \ f_1^\prime(f_2(f_3(x)))\cdot f_2^\prime(f_3(x))\cdot f_3^\prime (x)\\[15pt] &= \ e^{\arctan(3+x^3)}\cdot \frac1{1+(3+x^3)^2}\cdot 3x^2\end{align*} eşitliğini sağlar.
Birebirlik:
$\exp$ ve kare fonksiyonu negatif olmayan değerler aldığından türev fonksiyonu sadece $0$ noktasında sıfır değerini alır ve diğer durumlarda pozitiftir. Dolayısıyla $f$ fonksiyonu $(-\infty,0]$ ve $[0,\infty)$ aralıkları üzerinde artan bir fonksiyondur. Aralıklara bütünsel bakarsak $f$ fonksiyonu gerçel sayılar üzerinde artan bir fonksiyonudur.
Artan fonksiyonlar birebir olduğundan $f$ fonksiyonu birebir olur.
Tersinin türevi:
$f(-\sqrt[3]{3})=1$ ve $f^\prime(-\sqrt[3]{3})=3^{5/3}$ olduğundan $$f^{-1}(1)=\frac1{f^{\prime}(-\sqrt[3]{3})}=3^{-5/3}$$ değerine eşit olur.