Sağ limit:
$x\ge 0$ değerleri için $f(x)=x^3+2\ln(3x+1)$ eşitliği sağlanıyor. Süreklilik gereği $$\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}(x^3+2\ln(3x+1))=0^3+2\ln(3\cdot 0+1)=0$$ eşitliği sağlanır.
Sol limit için çıkarım:
$\lim\limits_{x\to 0} f(x)$ limit değeri var olduğundan ve $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=0$ olduğundan $$\lim\limits_{x\to 0^-} f(x)=0$$ olmalıdır.
Sol limit:
$x< 0$ değerleri için $f(x)= x^{-1}\cdot \sin (ax)+\cos(3x)$ eşitliği sağlanıyor.
a sıfır olduğunda:
$a=0$ ise $\sin (ax)=0$ olur. Bu nedenle \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0^-} f(x)\ &= \ \lim\limits_{x\to 0^-}\left(\dfrac{ 0}{x}+\cos(3x)\right)\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x\to 0^-}\left(0+\cos(3x)\right)\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x\to 0^-}\cos(3x)\\[15pt] &= \ \cos(3\cdot 0)\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Bu limit değeri sıfır olmadığından $a=0$ olamaz.
a sıfır olmadığında:
$a\ne 0$ olduğunda $0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ olduğunu kullanabilecek şekilde iç ifadeyi düzenlersek \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0^-} f(x)\ &= \ \lim\limits_{x\to 0^-}\left(\dfrac{ \sin (a x)}{x}+\cos(3x)\right)\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x\to 0^-}\left(a\cdot\dfrac{ \sin (a x)}{ax}+\cos(3x)\right)\\[15pt] &= \ a\cdot 1+\cos(3\cdot 0)\\[15pt] &= \ a+1 \end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Bu limit değeri sadece $a=-1$ değeri için sıfır olur.
Sonuç:
$a=-1$ olmalıdır.