Ön bilgi:
Bu eşitliklerin ispatı için $$\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sin h}h=1\ \ \ \text{ ve } \ \ \ \lim\limits_{h\to 0}\frac{\cos h-1}h=0$$ eşitliklerini kullanacağız. Bu eşitlikler limit konusu içerisinde gösteriliyor. İlki genel bir araç olarak verilirken ikincisi bu araç ile gösterilebilir.
İspat:
$x$ bir gerçel sayı olmak üzere \begin{align*}\sin^\prime x\ &= \ \lim\limits_{h\to 0}\frac{\sin (x+h)-\sin x}h \\[17pt]&= \ \lim\limits_{h\to 0}\frac{(\sin x\cdot \cos h +\cos x \cdot \sin h)-\sin x}h \\[17pt]&= \ \lim\limits_{h\to 0}\left[\sin x\cdot \frac{\cos h -1}h+\cos x\cdot \frac{\sin h}h\right] \\[17pt]&= \ \sin x\cdot 0+\cos x \cdot 1\\[17pt]&= \ \cos x\end{align*} ve \begin{align*}\cos^\prime x\ &= \ \lim\limits_{h\to 0}\frac{\cos (x+h)-\cos x}h \\[17pt]&= \ \lim\limits_{h\to 0}\frac{(\cos x\cdot \cos h -\sin x \cdot \sin h)-\cos x}h \\[17pt]&= \ \lim\limits_{h\to 0}\left[\cos x\cdot \frac{\cos h -1}h-\sin x\cdot \frac{\sin h}h\right] \\[17pt]&= \ \cos x\cdot 0-\sin x \cdot 1\\[17pt]&= \ -\sin x\end{align*}eşitlikleri sağlanır.
_________________
Kullanılan bilginin ispatı:
Payı ve paydayı $\cos h+1$ ile çarpalım. Paydadaki ifadeleri çarpalım ve $\cos^2h-1$ yerine $-\sin^2 h$ yazalım. $0$ noktasında $h^{-1}\sin h$ limitinin $1$ olduğunu kullanabilecek şekilde ifadeyi düzenleyelim ve limit değerini bulalım. Bu yöntem ile\begin{align*}\lim_{h\to 0} \frac{\cos h-1}h\ &=\ \lim_{h\to 0} \left[\frac{\cos h-1}h\cdot \frac{\cos h+1}{\cos h+1}\right]\\[12pt]&=\ \lim_{h\to 0} \left[\frac{\cos^2 h-1}h\cdot (\cos h+1)\right]\\[12pt]&=\ \lim_{h\to 0} \left[\frac{-\sin^2 h}h\cdot (\cos h+1)\right]\\[12pt]&=\ \lim_{h\to 0} \left[-\frac{\sin h}h\cdot \sin h\cdot (\cos h+1)\right]\\[12pt]&=\ -1\cdot 0\cdot (\cos 0+1)\\[12pt]&=\ 0\end{align*}eşitliğini buluruz.