+1 oy
Limit kategorisinde tarafından
$$\lim\limits_{x\to 3} \dfrac{\sqrt{x^2+7}-4}{x-3}$$ limitini bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından
$0/0$ belirsizliğimiz var. Payı polinom yapıp limiti polinom bölmesine çevirebilmek için payı ve paydayı limiti sıfır olmayan $\sqrt{x^2+7}+4$ ile çarpalım.\begin{align*}\lim\limits_{x\to 3} \dfrac{\sqrt{x^2+7}-4}{x-3}\ &= \ \lim\limits_{x\to 3} \left(\dfrac{\sqrt{x^2+7}-4}{x-3}\cdot \frac{\sqrt{x^2+7}+4}{\sqrt{x^2+7}+4}\right)\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 3} \left(\dfrac{(x^2+7)-4^2}{x-3}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+7}+4}\right)\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 3} \left(\dfrac{x^2-9}{x-3}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+7}+4}\right)\end{align*}İkinci ifadenin limiti var olduğundan polinom kesiri olan ilk ifade ile ilgilenelim. Payı $(x-3)\cdot(x+3)$ olarak çarpanlarına ayıralım. $x-3$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim ve sonuca ulaşalım. Bu yol ile\begin{align*}\phantom{\lim\limits_{x\to 3} \dfrac{\sqrt{x^2+7}-4}{x-3}}\ &= \  \lim\limits_{x\to 3}\left( \dfrac{(x-3)\cdot(x+3)}{x-3}\cdot\frac1{\sqrt{x^2+7}+4}\right)\\[12pt]\ &= \  \lim\limits_{x\to 3}\left((x+3)\cdot \frac1{\sqrt{x^2+7}+4}\right)\\[12pt]&= \  (3+3)\cdot\frac{1}{\sqrt{3^2+7}+4}\\[12pt]&= \ \frac34\end{align*}eşitliğini buluruz.
...