Çarpımın Türevi (İspat)

Question

$f,g : \mathbb R\to \mathbb R$ fonksiyonlar ve $a$ bir gerçel sayı olsun. $f$ ve $g$ fonksiyonları $a$  noktasında türevlenebilirse $f\cdot g$ fonksiyonu da $a$ noktasında türevlenebilir ve $$(f\cdot g)^\prime(a)=f^\prime (a)\cdot g(a)+f(a)\cdot g^\prime(a)$$ eşitliği sağlanır.

Answer 1

Atlanmaması gereken ve ispatta kullanacağımız bir eşitlik:
$g$ fonksiyonu $a$ noktasında türevlenebilir olduğundan süreklidir. Ayrıca $h$ değişkenli  $a+h$ fonksiyonu $h$ sıfıra yaklaşınca $a$ değerine yaklaştığından  $$\lim\limits_{h \to 0}g(a+h)=g(a)$$ eşitliği sağlanır.

Bu bilgi ile ispata devam:
$f\cdot g$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki türevi \begin{align*}\lim\limits_{h \to 0} &\dfrac{(f\cdot g)(a+h)-(f\cdot g)(a)}{h}\\[17pt]=&\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)\cdot g(a+h)-f(a)\cdot g(a+h)+ f(a)\cdot g(a+h)-f(a)\cdot g(a)}{h}\\[17pt] =&\lim_{h \to 0} \frac{(f(a+h)-f(a))\cdot g(a+h)+f(a)\cdot (g(a+h)-g(a))}{h}\\[17pt] =&\lim_{h \to 0} \left[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\cdot g(a+h)+f(a)\cdot\frac{g(a+h)-g(a)}{h}\right]\\[17pt] =&f^\prime (a)\cdot g(a)+f(a)\cdot g^\prime(a)\end{align*} değerine eşit olur.