Logaritma alma:
$0^0$ belirsizliği var. Bu belirsizliği $\infty/\infty$ belirsizliğine çevirmek için fonksiyonun logaritması ile ilgilenelim. Logaritma aldığımızda, pozitif gerçel sayılar için $$\ln \left(x^{\sin x}\right)=\sin x\cdot \ln x=\frac{\ln x}{(\sin x)^{-1}}$$eşitliği sağlanır.
Logaritmasının limiti:
$\infty/\infty$ belirsizliğimiz var. Bu belirsizliği gidermek için bir kere l'Hopital uygulayalım ve $0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ eşit olduğunu kullanacak şekilde ifadeyi düzenleyerek limit değerini bulalım. Bu yöntem ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\ln x}{(\sin x)^{-1}}\ &= \ \lim\limits_{x\to0^+}\frac{x^{-1}}{\cos x \cdot (\sin x)^{-2}}\\[15pt] &=\ \lim\limits_{x\to0^+}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{\sin x}x \right)\\[15pt] &=\ \frac{\sin 0}{\cos 0}\cdot 1\\[15pt] &=\ 0\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Sonuç:
$\exp$ fonksiyonu sürekli olduğundan, özel olarak $0$ noktasında sürekliolduğundan, \begin{align*}\lim\limits_{x\to0^+}x^{\sin x}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0^+}\exp \left[\ln \left(x^{\sin x}\right)\right]\\[15pt] &= \ \exp\left[ \lim\limits_{x\to 0^+}\ln \left(x^{\sin x}\right)\right]\\[15pt] &= \ \exp(0) \\[15pt] &= \ 1 \end{align*} eşitliğini elde ederiz.