Toplamın Türevi (İspat)

Question

$f,g : \mathbb R\to \mathbb R$ fonksiyonlar ve $a$ bir gerçel sayı olsun. $f$ ve $g$ fonksiyonları $a$  noktasında türevlenebilirse $f+g$ fonksiyonu da $a$ noktasında türevlenebilir ve $$(f+g)^\prime(a)=f^\prime (a)+g^\prime(a)$$ eşitliği sağlanır.

Answer 1

$f+g$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki türevi \begin{align*}\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(f+g)(a+h)-(f+g)(a)}{h}&=\lim_{h \to 0} \frac{(f(a+h)-f(a))+(g(a+h)-g(a))}{h}\\[11pt] &=\lim_{h \to 0} \left[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}+\frac{g(a+h)-g(a)}{h}\right]\\[11pt] &=f^\prime (a)+g^\prime(a)\end{align*} değerine eşit olur.