İsimlendirme:
$t$ zamanında konin hacmine $V(t)$, taban yarı çapına $r(t)$ ve yüklekliğine $h(t)$ diyelim.
Verilen ve istenen:
Dolana kadar geçen bir zamanadaki hacim artış oranın $$\frac d{dt}V(t)=8 \ \text{m}^3/\text{dk}$$ olduğu veriliyor ve koniye dolan suyun yarı çapı $4$ m olduğunda yüksekliğin artış oranı olan $$\left.\frac{dh}{dt} \right|_{r(t)=4 \text{ m} }$$ değeri isteniyor.
Verilen ile isteneni ilşkilendirme:
(1) Koni hacminin yükseklik ile taban yarı çapı ile ilişkisi:
$t$ zamanında $$V(t)=\frac\pi3\cdot r^2(t)\cdot h(t)$$ eşitliği sağlanır.
(2) Benzerlik:
$t$ zamanında $$\frac{r(t)}{h(t)}=\frac6{10} \ \ \ \text{ yani } \ \ \ r(t)=\frac35\cdot h(t)$$ eşitliği sağlanır. Ayrıca $r(t)=4$ m olduğunda $h(t)=20/3$ m olur.
(3) $V$ ile $h$ fonksiyonunun ilişkisi:
Bu iki eşitliği kullanırsak $$V(t)=\frac\pi3\cdot \left(\frac35\cdot h(t)\right)^2\cdot h(t)=\frac{3\pi}{25}\cdot h^3(t)$$ eşitliği sağlanır.
Önemli bir not:
Kolaylık olsun diye son eşitlikte türev alacağız. Bu türevi alırken $h$ fonksiyonunun da türevlenebilir olduğunu kullanmamız gerekiyor. Bu türevin var olduğunu $$h(t)=\left(\frac{25}{3\pi}\cdot V(t)\right)^\frac13$$ eşitliği ve zincir kuralı ile de gösterilebilir.
Sonuç:
Kapalı fonksiyon türevi ile $$\frac {dV}{dt}= \frac{3\pi}{25}\cdot 3h^2\cdot \frac {dh}{dt}$$ eşitliği sağlanır. $r(t)=4$ m olduğunda $$8= \frac{3\pi}{25}\cdot 3\cdot \left(\frac{20}3\right)^2\cdot \left.\frac{dh}{dt} \right|_{r(t)=4 \text{ m} }\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$
$$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{ yani } \ \ \ \left.\frac{dh}{dt} \right|_{r(t)=4 \text{ m} }=\frac1{2\pi} \text{ m/dk}$$ eşitliği sağlanır.